以幾類數值計算方法的可視化動態仿真為例

1．開題報告（含“文獻綜述”）
作為畢業論文答辯委員會對學生答辯資格審查的依據材料之一。此報告應在指導教師指導下，由學生在畢業論文工作前期內完成，經指導教師簽署意見及所在專業審查后生效；

2．開題報告內容必須用黑墨水筆工整書寫或按教務處

統一設計的電子文檔標準格式打印，禁止打印在其它紙上后剪貼，完成后應及時交給指導教師簽署意見；

3．“文獻綜述”應按論文的格式成文，并直接書寫（或打印）在本開題報告第一欄目內，學生寫文獻綜述的參考文獻應不少于10篇（不包括辭典、手冊）；

4．有關年月日等日期的填寫，應當按照國標gb/t 7408—94《數據元和交換格式、信息交換、日期和時間表示法》規定的要求，一律用阿拉伯數字書寫。如“2004年2月26日”或“2004-02-26”。

數值計算方法，簡稱計算方法，是一種研究數學問題的數值近似解方法，是解決“計算"問題的橋梁和工具。計算機是數值計算方法最常用的計算工具，隨著電子計算機的迅速發展和廣泛應用，在許多的領域內，科學計算也顯的愈來愈重要，其內容主要包括插值，數值微分和數值積分、曲線擬合的最小二乘法、非線性方程求解、解線性方程組的直接法、解線性方程組的迭代法、計算矩陣的特征值和特征向量、常微分方程數值解，見文獻[1-2]。

而算法是數值計算方法的基礎，古代中國早就有算法思想，但是其又不能完全等同于現代計算數學中的算法。直到20世紀30年代才對精確的算法概念給出確切的定義。15世紀歐洲資本主義工商業興起，科學技術有了新的發展，數學發展的主要舞臺移至歐洲，與希臘式的數學交匯結合，孕育了近代數學的誕生。各個時期的大數學家，在發展基礎數學的同時也都對數值計算方法作出了重要的貢獻。如牛頓、歐拉、拉格朗日，高斯和切比雪夫等等。1946年馮．諾依曼和其同事起草并向美國海軍部提交了一份報告《高階線性方程組的解》，這標志著計算數學或叫數值分析作為一門學科正式誕生。隨著國內外科學技術的不斷發展，數值計算方法發展基于兩大背景條件：一是以其自身內部純數學理論為基礎，向著方程的離散、網格與自適應相耦合，算法、程序與并行相耦合，算法保真，算法健壯等等方向發展。如形成了涉及最佳逼近、插值與樣條逼近、算子方程迭待解的逼近、細胞神經網絡逼近等熱點領域。二是以其應用性為基礎，應用于計算神經網絡，即借助于函數分析及運籌學方法研究神經網絡的本質。還有應用于數學和生物交叉學科的計算生物學，以此研究計算神經科學。總之在數值計算日益發展地趨勢下，其方法內容也越來越豐富,在科學技術、社會發展中也發揮越來越大的作用，并日益融人社會生活的許多方面，成為推動科學技術和社會發展的重要動力， 

當下，基于數值計算方法的實際應用性，在科學研究和工程技術中都要會到各種計算方法。例如，在航天航空、地質勘探、汽車制造、橋梁設計、天氣預報和漢字字體設計中都有計算方法的蹤影。與此同時，很多學者及研究人員也在對數值計算方法進行更進一步的研究與探討，并不斷優化已有的算法，以希望通過更好更優的方法，得出更精確的數據，以便掌握事物發展的規律，同時促進社會的發展。見文獻[3]。

如2017年j．m．carnicer在文獻[4]中，對 lagrange插值多項式在一些條件下的最優性與穩定性進行分析研究，進行數值實驗；同時對newton插值多項式進行調節測試，并進行數值實驗。

2017年郭小樂在文獻[5]中在基于matlab的基礎上對幾種常見的插值法：拉格朗日插值、牛頓插值、hermite插值及三次樣條插值，討論其不同形式的表達式及誤差，結合matlab給出具體實例，對比分析。此外還就三次樣條插值的不同計算方法進行歸納、總結。

2016年李順在文獻[6]和2019年吳江在文獻[7]分別對求解非線性方程的幾種迭代方法進行介紹說明和研究，例如經典的newton迭代法，同時二人還分別在已有的迭代法的基礎上，分別對已有的迭代法進行一些改進與推廣，使其可能有更廣的適用范圍和更為優化的過程，最后，均通過計算機語言，通過可視化的數值實驗，驗證了算法的有效性。

2018年張輝在文獻[8]討論關于求解非線性方程（組）的幾種改進的牛頓迭代方法。在基于幾種含參數迭代格式基礎上，采用待定系數方法，給出含參數三階牛頓迭代格式，討論構造過程，分析收斂性。對數值實驗中的六種非線性方程，討論給出迭代格式中的參數與迭代次數的關系，并與牛頓迭代格式以及三種同階迭代格式比較，所給出迭代格式有良好的優勢。

2016年雍龍泉在文獻[9]中對求解線性方程組的的幾種迭代方法進行了研究與說明，例如經典的jacobi迭代；gauss-seidel迭代；給出了迭代方法收斂的充分條件。進行了數值實驗，進一步表明,在大規模線性方程求解時，迭代矩陣譜半徑的大小決定算法的收斂速度；在譜半徑小于1的前提下，譜半徑越小，則收斂速度越快。

2017年張軍在文獻[10]中對幾類數值積方法分進行了更為深入的研究與分析，例如牛頓-科特斯積分，梯形求積，復化梯形求積和高斯積分求積，以及各個相對應的誤差問題，最后推廣到通過智能算法實現數值積分算法，同時也通過具體實驗驗證了智能算法在求積公式求解中的應用是行之有效的方法。

2019年姜兆檸在文獻[11]中對求解常微分方程初值問題的數值解法進行了綜合研究，主要對幾種常用的求解數值解的方法進行了探討，包括歐拉法，改進歐拉法，龍格庫塔方法，阿等來求解一些常微分方程的數值解，并對各個解法進行了優缺點及可行性的討論。同時2018年l.f. shampine，在文獻[12]中詳細的介紹了微分方程數值解的問題。

然而，對數值計算方法的研究，也不能僅僅拘泥于純萃的理論的研究學習，我們或許更希望在學習計算方法過程中，能用某種計算機語言編制該方法程序，然后通過計算機，將算法的具體步驟與計算過程更進一步的可視化呈現出來，那樣更有利于準確而準刻地掌握該方法的計算步驟和過程，同時更有利于我們的學習。

如2020年彭東海在文獻[13]中對常微分方程的求解和解的性態分析問題運用matlab平臺求解常微分方程解析解、數值解以及定性分析仿真的方法進行了研究探討。

2018年周忠周，瑞芳文在文獻[14]中提出在常微分數值解法過程中，利用matlab的圖形化函數及dev c++結合qpengl動畫技術，將數值計算結果以圖形方式靜態或動態顯示出來，這些可視化方法很大的提高了學生的興趣及學習主動性。

所以，此篇論文也意在通過編程語言，將幾類常見的數值計算方法可視化的展現出來，使得我們能對數值計算方法有更好的了解，記憶與學習。

（空2行）

[1] 張韻華，王新茂，陳效群，張端．數值計算方法與算法[m]．第3版．北京：科學出版社，2016．

[2] richard l．burden．numerical analysis[m]．第7版．boston：cengage learning，2012．

[3] 劉愛晶．計算數學的發展歷程[j]．科技信息(學術版)，2008，（34）：474-477．

[4] j．m．carnicer．optimal stability of the lagrange formula and conditioning of the newton formula[j]．journal of approximation theory，2017，07（5）：238

[5] 郭小樂．基于matlab的常見插值法及其應用[j]．赤峰學院學報， 2017，33（07）：5-7．

[6] 李順．求解非線性方程高階迭代法的研究[d]．杭州：杭州師范大學，2016．

[7] 吳江．求解非線性方程高階迭代法研究[d]．杭州：杭州師范大學，2019．

[8] 張輝．求解非線性方程（組）的改進迭代法[d]．南充：西華師范大學，2018．

[9] 雍龍泉．線性方程組的4種迭代方法[j]．陜西理工學院學報(自然科學版)，2016，32（05）：80-84．

[10] 張軍．幾類數值求積公式的構建及其智能算法應用研究[d]．長春：吉林大學，2017．

[11] 姜兆檸．常微分方程數值解的求解[j]．科技經濟導刊，2019，27（17）：　154-155．

[12] l．f．shameine．numerical solution of ordinary differential equations [m]．boca raton：crc press，2018．

[13] 彭東海．matlab的常微分方程的求解及數值仿真[j]．現代計算機，2020，01（29）：59-63．

[14] 周忠，周瑞芳．可視化方法在常微分方程數值解教學中的應用[j]．教育現代化，2018，5（01）：171-173．